I numeri del virus
Come la matematica può aiutarci a prevedere il futuro.
C’è un concetto che tutto il mondo ha imparato a conoscere in questi primi mesi del 2020, qualcosa mai compreso pienamente dal nostro cervello umano: la crescita esponenziale.
La nostra mente non comprende in maniera istintiva questo concetto, forse perché siamo abituati a vivere in un mondo che ci appare “lineare”: lo stipendio arriva ogni mese e più o meno dello stesso importo; i giorni, le stagioni e gli anni scorrono in modo lineare; un viaggio in automobile avviene per gran parte del tempo a velocità costante (tranne qualche breve accelerazione e frenata). In realtà siamo circondati da crescite esponenziali e ogni tanto questo ci sconvolge la vita.
Questo sconvolgimento può essere in positivo, come ad esempio il boom dell’informatica e di internet con prestazioni e velocità di connessioni che sono cresciute in modo esponenziale in pochi anni cambiando radicalmente il nostro modo di vivere e di lavorare, oppure in negativo, come ad esempio l’esplosione di un’epidemia virale sconosciuta come quella del COVID-19 che nel giro di pochi mesi ha superato il milione di persone contagiate.
Partiamo da due aneddoti semplici che ci torneranno utili più tardi. La storia dell’ambasciatore e del Faraone è suggestiva: l’ambasciatore chiede come ricompensa al Faraone del grano, partendo da un chicco raddoppiando la quantità per quante sono le caselle di una scacchiera. Il Faraone, iniziando a contare, 1,2,4,8,16, crede di cavarsela con una manciata di chicchi, ma la sorpresa è notevole quando il ragioniere di corte fa notare che per esaudire la richiesta serviranno 18 miliardi di miliardi di chicchi (264–1).
L’altro aneddoto è quello della ninfea che cresce in un lago raddoppiando ogni giorno la sua estensione e riempiendo il lago in 10 giorni esatti. Quando sarà coperto metà lago? Istintivamente potremmo pensare al quinto giorno invece la risposta è al nono, il giorno prima di riempirlo del tutto.
Queste due storie forse danno l’idea sul perché quasi tutto il mondo si è trovato impreparato a contrastare la diffusione del Coronavirus Covid-19. In molti casi si è pensato, guardando i numeri iniziali, che la crescita fosse lenta e si trattasse di pochi casi gestibili, un po’ come successo al Faraone con i chicchi di grano. Quando i numeri sono diventati importanti, a causa della crescita esponenziale, si sono iniziate a prendere contromisure ma in molti casi tardivamente (ripensando all’aneddoto della ninfea le misure sono arrivate spesso quando si era a metà lago coperto…). La crescita esponenziale, seppur comune per tutte le diffusioni virali, ha sorpreso un po’ tutti a causa di questo avvio in sordina che inesorabilmente è sfociato in un’improvvisa accelerazione molto difficile da frenare.
Tralasciando gli aspetti medici, in questo articolo analizzeremo l’epidemia in termini matematici, prendendo in considerazione i dati ufficiali del contagio in Italia diramati dalla Protezione Civile.
Analizzando i dati scopriremo che quei numeri comunicati quotidianamente — che sembrano ogni giorno diversi — in realtà seguono ben precise curve geometriche. Come è stato specificato da più fonti i numeri “effettivi” probabilmente sono di gran lunga superiori a quelli ufficiali per il fatto che non a tutti sono stati effettuati tamponi, ma comunque il dato ufficiale resta valido per studiarne il trend.
Come possiamo vedere dal grafico in Figura A i contagi hanno seguito sin da subito un andamento esponenziale, che nella sua fase iniziale spaventa poco se i numeri vengono guardati singolarmente: 76 casi il 22 febbraio, 72 il giorno dopo, 81 il giorno successivo, sembra quasi un andamento lineare, del tutto gestibile. L’esponenziale tuttavia cresce e presto la curva diventa ripida — solo una settimana dopo siamo già a 307 casi giornalieri, la settimana successiva a 1482. Il 7 marzo si decidono misure restrittive per alcune aree che solo dopo due giorni vengono estese a tutto il Paese. Ma l’esponenziale è ormai nella sua fase matura e porta a valori di contagi giornalieri sempre più alti, raggiungendo gli oltre 6500 casi registrati il 21 marzo. Qualcuno potrebbe allora dire: le misure non sono servite? La risposta è che le misure sono sicuramente servite e nel grafico si vede anche come hanno agito: la curva di crescita, pur restando esponenziale per tutto il mese di marzo, ha variato la sua “ripidità” passando da esponenziali più ripidi a esponenziali via via sempre più distesi e simili ad andamenti lineari, riducendo il cosiddetto fattore R0. Senza misure restrittive saremmo rimasti a lungo nei primi esponenziali, come si nota dalla linea tratteggiata, raggiungendo valori di contagio di gran lunga più elevati. Il 2 marzo si è vista la prima discontinuità di crescita, probabilmente grazie all’isolamento delle zone rosse (Codogno, Vo’, ecc…), il 14 marzo, a circa una settimana dalla chiusura del Paese abbiamo assistito ad una ulteriore variazione che diventa ancora più accentuata il 21 marzo, quando l’andamento dei contagi giornalieri diventa quasi lineare (i contagi si stabilizzano sui 5500–6000 giornalieri). Dal 28 marzo abbiamo finalmente iniziato a lasciarci alle spalle la crescita esponenziale e, giorno dopo giorno, si è assistito ad una lenta ma costante riduzione portandoci a circa 4000 contagi giornalieri nella prima decade di aprile.
Torniamo al citato fattore R0: esso misura quante persone contagia un singolo infetto. Abbiamo calcolato un R0 di circa 3 nella prima fase esponenziale dal 22 febbraio fino al 2 marzo (ogni infetto ne contagia altri 3), R0 scende a 2 nella seconda fase esponenziale (fino al 14 marzo) per poi scendere a 1.5 nelle due settimane seguenti. Dalla fine di marzo il fattore R0 si è avvicinato al valore 1 e questo coincide con l’inizio del calo dei contagi: ogni infetto contagia più o meno una persona. Avere un fattore R0 minore di 1 è la condizione fondamentale per fermare un’epidemia e per poter iniziare ad allentare le misure restrittive.
Questa modellizzazione matematica è del tutto in linea con le attese in quanto le epidemie virali seguono un modello di crescita definito “logistico”, ossia somma di tre fasi: prima fase di crescita esponenziale (es. +1,+2,+4,+8,+16…), seconda fase lineare (es. +16,+16,16,…), terza fase, detta di declino, (es. +16,+8,+4,+2,…) nella quale i valori si “appiattiscono” verso il valore finale quando si assiste finalmente all’incremento nullo giornaliero (zero contagi).
Passiamo adesso all’argomento terapie intensive (Figura B) e osserviamo che qui l’aneddoto delle ninfee calza perfettamente. L’incremento del numero giornaliero di pazienti in terapia intensiva ha seguito inizialmente il trend dei contagi, circa un decimo dei contagiati complessivi necessitava di cure importanti. Anche qui il 7 marzo l’esponenziale si è ridotto grazie alla circoscrizione delle zone rosse mitigando la propria pendenza. Dal 15 marzo l’andamento è invece bruscamente cambiato discostandosi da quello esponenziale e assestandosi su un trend lineare con una media di circa 150–200 casi giornalieri. Il dato complessivo dei pazienti “critici” è passato dal 10% al 6%. Questo è avvenuto non perché il virus fosse diventato meno aggressivo ma perché si è assistita nelle aree lombarde più colpite a una saturazione ospedaliera: il passaggio da esponenziale a lineare pertanto in questo caso non è stato né positivo né fisiologico ma forzato dalla saturazione delle strutture sanitarie.
Questo è mostrato chiaramente anche dal numero di decessi (Figura C) che fino al 22 marzo ha seguito un trend esponenziale drammatico, con valori superiori rispetto alle stime iniziali. Solo dal 22 marzo le numeriche giornaliere dei decessi si sono attestate su valori stabili, tra i 600 e gli 800 casi e con un picco di quasi mille casi il 27 marzo, per iniziare dai primi di aprile una lenta decrescita in concomitanza con il superamento del collasso ospedaliero. Dai primi di aprile infatti le cose sono migliorate e gli accessi in terapia intensiva sono calati notevolmente attestandosi su un bilancio di incrementi di poche decine di casi al giorno: questa desaturazione delle terapie intensive è dovuta sia alla riduzione del numero di contagi sia all’aumento esponenziale del numero di guariti (Figura C), portandoci in cima alla curva degli ammalati.
L’andamento degli ammalati giornalieri (contagi totali meno decessi e guarigioni giornaliere) inizialmente cresce in modo analogo alla curva dei contagi (in quanto ci sono pochi decessi e guariti), lentamente inizia a discostarsi dalla curva dei contagi e raggiunge una fase di picco (quando le numeriche degli ammalati giornalieri sono pari a guariti e deceduti). A questo punto la curva inizia una fase di decrescita in quanto le guarigioni crescono esponenzialmente e superano il numero di contagi giornalieri. Nella prima decade di aprile i valori rilevati ci confermano che siamo in cima a questa curva dalla forma a campana, infatti, come noterete in Figura D, il 12 aprile siamo a metà strada. La fase di discesa è appena iniziata per ricoveri e terapie intensive, mentre i positivi in isolamento domiciliare sono ancora in fase di crescita anche a causa dell’elevato numero di tamponi effettuati da aprile, superiori a quelli effettuati a marzo. Sicuramente nei prossimi giorni inizieremo a scendere anche sulle numeriche dei positivi in isolamento domiciliare, avviando la fase discendente. Questo ci porterà lentamente fuori da questo tunnel in cui siamo entrati, che ha creato improvvisamente scenari da crisi nucleare impensabili solo qualche mese fa: tante zone rosse, tante piccole grandi Chernobyl disseminate in tutto il mondo, che fanno i conti con la crescita esponenziale del virus.
Con certezza, questa pandemia globale segnerà uno spartiacque tra il prima e dopo, nulla sarà come prima e non è detto che sia una cattiva notizia se sapremo cogliere l’opportunità di cambiare in meglio le cose.
Di Giancarlo Giannotti Santoro
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